おはようございます。高校1年生を担当している坂井です。9月も終わりに近づき、肌寒い季節になりました。今回は素数について話をしたいと思います。素数とは2以上の自然数１とその数以外に正の約数を持たない数であることは皆さんご存知だと思います。では素数はどれくらいあるか知っていますか。実は、素数は無限に存在することが知られています。

問.素数が無限にあることを示せ

せっかくなので証明してましょう！背理法を用いて示します。素数を有限個と仮定して、素数全体をp1,p2,…pnとします。そしてp=p1,p2,…pn+1と定義します。するとpはいずれのでも割り切れないのでpは1とp以外に正の約数を持たないことになり、pは素数となります。しかしこれは素数全体をp1,p2,…pnとしていることに矛盾し、背理法から素数が無限に存在することが示せました。この証明法はユークリッドによる証明で、一番有名な証明方法と言ってよいでしょう。余談ですが、このブログを書くにあたり、何人かの生徒に出してみたのですが、全員この方法で示していました。

もちろん証明法はこれ以外にも多く存在します。フェルマー数やゼータ関数を用いたりと、どの証明方法も面白いので興味のある人は探してみてください。今、素数が無限に存在することはわかっています。しかし無限に存在するかわからないものとして双子素数が挙げられます。そもそも双子素数とは、p,p+2がともに素数となる組をいいます。(3,5),(11,13)などが双子素数となります。現状、双子素数については逆数の和を全て足すと収束することは示されていますが、無限に存在するかはいまだに示されていません。

素数は高校数学でも使う場面が多く存在し、扱いなれている人も多いと思います。そんな素数でもいまだに証明さていないような問題も存在します。少しでも面白いと感じてくれれば調べて、考えてみて欲しいと思います。

坂井先生