歳の近い親戚が結婚し、自分も歳をとってしまったのだなと感じています。こんにちは担任助手の坂井です。

最近背理法について模擬授業を行っていました。その時に例題として、「三角形の内角の少なくとも一つは60°以上であることを示せ」という問題を考えました。背理法を用いれば、全て60°未満とすると内角の和は180°未満となり矛盾。故に少なくとも一つは60°以上であるとすぐにわかります。この証明を見た後に僕は「これは背理法使わなくてもいけるのでは？」と思いました。背理法を使わないでやってみましょう。三角形の頂点をそれぞれA、B、Cとします。∠Aが60°以上ならば題意を満たす。∠Aが60°未満の時は、∠B<∠Cとすると120°<180°-∠A=∠B+∠C<2∠C となり∠Cが60°以上であることがわかり、題意を満たす。

この命題を考えてみて、もう一つ疑問が湧きました。「じゃあ背理法では解けないような問題はあるのだろうか？」例えば「√2が無理数であること」「素因数分解の一意性」の代表的な証明は背理法を用いていますが、これらも背理法でなく証明できるのでしょうか？そして仮に背理法では解けない問題が存在したとして、どうやってそれの示すのでしょうか？僕自身結論は出せていませんが、興味が有れば考えてみてほしいです。

坂井先生